Решение десятой проблемы Гильберта

В августе 1900 г. в Париже проходил II Международный конгресс математиков. «На рубеже нового столетия...» математики пытались «...представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем... Ведь большие даты не только за ставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее». С докладом «Математические проблемы» на конгрессе выступил выдающийся немецкий математик Давид Гильберт, слова которого были только что процитированы. К этому времени 38-летний профессор Гёттинген- ского университета уже приобрел мировую из* вестность своими исследованиями в различных областях математики. Сознавая «глубокое значение, какое имеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще, и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя», Гильберт сформулировал в своем докладе ряд «определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки». Высокий научный авторитет Гильберта, уникальный характер его доклада (до Гильберта никто с подобным докладом не выступал) и время, удостоверившее значительность сформулированных им задач, создали вокруг «проблем Гильберта» — так стали их называть — особый ореол, и каждое существенное продвижение в решении какой-либо из них, а тем более полное решение проблемы стало восприниматься учеными-математиками как выдающееся достижение.
Десятая проблема Гильберта относится к одной из самых древних и самых трудных областей математики — к теории диофантовых уравнений, названных по имени греческого математика Диофанта (III в н. э.), рассмотревшего некоторые частные типы таких уравнений. Формулировка десятой проблемы чрезвычайно проста. Рассматриваются диофантовы уравнения, т. е. алгебраические уравнения Р(х₁, x₂, ..., х_n ) = 0, левые части которых суть многочлены с целочисленными коэффициентами. Требуется разработать единый метод, который для любого диофантова уравнения позволял бы выяснить, разрешимо ли оно в целых числах. В существовании такого метода Гиль
берт, по-видимому, не сомневался, и задача, полагал он, заключалась лишь в том, чтобы его найти.
Разработкой методов решения диофантовых уравнений занимались многие выдающиеся математики от Евклида (III в. до н. э.) до наших современников. Было получено немало тонких результатов. Однако результаты эти носили частный характер, объединению в общую теорию не поддавались, и даже усилия таких выдающихся умов, как Эйлер, Ферма, Ла- гранж, Гаусс, к созданию достаточно общих методов не привели. Причина такого положения вещей стала известна только в январе 1970 г., когда молодым ленинградским математиком Ю. Матиясевичем был получен сенсационный результат: он показал, что единый метод, требующийся для решения десятой проблемы Гильберта, построен быть не может. Таким образом, десятая проблема Гильберта оказалась окончательно решенной, хотя и в несколько необычном смысле: была установлена ее неразрешимость. Такого поворота событий Гильберт тогда предвидеть не мог, и мы сейчас поймем почему.
Десятая проблема Гильберта — типичный пример того, что в математике называется алгоритмической проблемой. Для своего решения она требует разработки некоторого единого метода, или, как говорят математики, алгоритма. Алгоритмические проблемы встречаются в математике давно, по крайней мере со времен Евклида. Однако до самого последнего времени математикам приходилось сталкиваться лишь с такими алгоритмическими проблемами, которые оказывались разрешимыми. Для решения каждой такой проблемы строился конкретный алгоритм, относительно которого доказывалось, что он ведет к поставленной цели. В такой ситуации надобности в точном математическом определении понятия алгоритма не было и математики довольствовались нечетким, расплывчатым описанием этого понятия. На этой стадии никакие отрицательные результаты типа «алгоритма для решения такой-то задачи не существует», естественно, не могли быть получены. Однако в начале XX века возник ряд алгоритмических проблем, решить которые, несмотря на усилия виднейших специалистов, не удавалось, и постепенно стало созревать убеждение, что отсутствие прогресса в решении этих проблем, возможно, связано с их принципиальной неразрешимостью. Анализ сложившейся ситуации привел к событию огромной важности: в середине 30-х годов нашего столетия было выработано точное понятие алгоритма, удовлетворяющее стандартам математической строгости.
Создание теории алгоритмов дало возможность установить неразрешимость ряда алгоритмических проблем, ставших к тому времени уже знаменитыми Наиболее замечательные результаты здесь были получены американскими математиками А. Черчем и Э. Л. Постом и советскими математиками А. А. Марковым и П. С. Новиковым. Разумеется, были предприняты попытки доказать неразрешимость и десятой проблемы Гильберта. В 1953 г. М. Девисом (США) была высказана чрезвычайно смелая гипотеза, и группа известных американских математиков — Дж. Робинсон, Р. Робинсон и X. Путнам — присоединилась к его попыткам доказать ее правильность. Попытки эти, однако, к успеху не привели. Вместе с тем из гипотезы вытекали следствия, выглядевшие малоправдоподобно, а опровержение гипотезы для решения десятой проблемы ничего бы не дало. К 1966 г. публикации в этом направлении прекратились, и гипотезу Девиса, по-видимому, следовало считать «забракованной».
В такой безнадежной ситуации Ю. Матиясе- вич начал свою работу над десятой проблемой. Путь, считавшийся специалистами бесперспективным, был пройден им до конца, гипотеза Девиса доказана и тем самым установлена неразрешимость десятой проблемы Гильберта. Попутно был получен ряд других замечательных результатов.
Остается только добавить, что аспиранту Ю. Матиясевичу к тому времени исполнилось 22 года, что результат его привлек внимание математиков всего мира, что еще первая его работа — он был тогда студентом второго курса — произвела яркое впечатление и что через 70 лет после постановки десятой проблемы он сделал доклад о ее решении на Международном конгрессе математиков в Ницце.