[an error occurred while processing the directive]  
[an error occurred while processing the directive]   [an error occurred while processing the directive] Математические досуги

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ АТТРАКТОРЫ

"игры" с натуральными числами полезны начинающим исследователям, во-первых, для понимания через "простое" таких достаточно сложных понятий, как аттрактор и бифуркация, в теории динамических систем, во-вторых, для развития метода аналогий. Не случайно, что одно из "определений" интеллекта формулируется как умение видеть различие в сходном и сходство в различном.



В теории динамических систем хорошо известно понятие аттрактора (от английского слова attract - притягивать). Так, траектория движения конического маятника с трением имеет вид спирали, наматывающейся на точку равновесия. Эта точка как бы "притягивает" к себе все траектории движения, из каких бы точек они ни исходили. При изменении параметров динамической системы обычно меняется число аттракторов и их вид. Подобные явления называются бифуркациями.

Любопытные "эксперименты" с натуральными числами показали, что можно построить примеры, в которых проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркаций. Возьмем любое двузначное натуральное число а (например, а = 27 или а = 65). Поменяв между собой цифры этого числа, получим число а*, которое назовем инверсным к а (для первого примера а*= 72, для второго а*= 56). Далее поступим следующим образом. Найдем разность b этих чисел (из большего вычтем меньшее). Для первого примера b = а _ а* = 72 _ 27 = 45, для второго разность - число однозначное, и мы дополняем его до двузначного добавлением нуля впереди: b = а _ а* = 65 _ 56 = 09. Рассмотрим теперь сумму полученного числа и инверсного ему b + b* (для наших примеров b + b* = 45 + 54 = 99 и b + b* = 09 + 90 = 99). Можно убедиться, что вышеприведенная последовательность действий с любым двузначным числом приводит к 99 или 0 (в случае одинаковых цифр), как бы "притягивающим числам", исполняющим роль своеобразных аттракторов.

Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия провести с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаемся, что для трехзначных чисел аттракторов также будет два. Для "симметричных" чисел типа 333, 121 и подобных им получается 0, а для всех прочих - 1089 (если результат первой операции - двузначное число, оно дополнятся спереди нулем до трехзначного:
а = 221, а* = 122, b = а _ а* = 221 _ 122 = 099,
b + b* = 099 + 990 = 1089). А вот для четырехзначных чисел при тех же действиях (с учетом аналогичного дополнения при необходимости впереди результата первой операции нуля) аттракторов будет уже пять - 0, 990, 9999,
10 890, 10 989, то есть происходит своеобразная бифуркация. Продолжая "эксперименты" с увеличением числа цифр (перебор осуществляется с помощью несложной компьютерной программы), определим соответствующее количество аттракторов. Для натуральных чисел с количеством цифр от одного до одиннадцати получаются интересные результаты, представленные в таблице.

Из таблицы видна закономерность появления бифуркаций: увеличение числа аттракторов происходит с увеличением числа цифр на два. Число же аттракторов растет достаточно стремительно, в очередной раз подтверждая высказывание одного из основателей кибернетики Уильяма Росса Эшби: "Многообразие регулируется многообразием".

Наблюдается и еще одна любопытная закономерность. Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...

то есть число аттракторов совпадает с четными номерами первых членов ряда Фибоначчи. Разумеется, это наблюдение не служит доказательством справедливости данного факта для всего бесконечного ряда. Возможно, кто-то из читателей сумеет доказать математически справедливость этой гипотезы или же ее опровергнуть.

Доктор физико-математических наук Р. БАХТИЗИН, профессор, заведующий кафедрой "Математическое моделирование" Уфимского государственного нефтяного технического университета, К. Штукатуров , студент (г. Уфа).

[an error occurred while processing the directive]  
[an error occurred while processing the directive] [an error occurred while processing the directive]