[an error occurred while processing the directive] | ||
[an error occurred while processing the directive] |
[an error occurred while processing the directive]
Математические досуги
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ АТТРАКТОРЫ
В теории динамических систем хорошо известно понятие аттрактора (от английского слова attract - притягивать). Так, траектория движения конического маятника с трением имеет вид спирали, наматывающейся на точку равновесия. Эта точка как бы "притягивает" к себе все траектории движения, из каких бы точек они ни исходили. При изменении параметров динамической системы обычно меняется число аттракторов и их вид. Подобные явления называются бифуркациями. Любопытные "эксперименты" с натуральными числами показали, что можно построить примеры, в которых проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркаций. Возьмем любое двузначное натуральное число а (например, а = 27 или а = 65). Поменяв между собой цифры этого числа, получим число а*, которое назовем инверсным к а (для первого примера а*= 72, для второго а*= 56). Далее поступим следующим образом. Найдем разность b этих чисел (из большего вычтем меньшее). Для первого примера b = а _ а* = 72 _ 27 = 45, для второго разность - число однозначное, и мы дополняем его до двузначного добавлением нуля впереди: b = а _ а* = 65 _ 56 = 09. Рассмотрим теперь сумму полученного числа и инверсного ему b + b* (для наших примеров b + b* = 45 + 54 = 99 и b + b* = 09 + 90 = 99). Можно убедиться, что вышеприведенная последовательность действий с любым двузначным числом приводит к 99 или 0 (в случае одинаковых цифр), как бы "притягивающим числам", исполняющим роль своеобразных аттракторов. Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия провести
с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаемся, что для
трехзначных чисел аттракторов также будет два. Для "симметричных" чисел
типа 333, 121 и подобных им получается 0, а для всех прочих - 1089 (если
результат первой операции - двузначное число, оно дополнятся спереди нулем
до трехзначного:
Из таблицы видна закономерность появления бифуркаций: увеличение числа аттракторов происходит с увеличением числа цифр на два. Число же аттракторов растет достаточно стремительно, в очередной раз подтверждая высказывание одного из основателей кибернетики Уильяма Росса Эшби: "Многообразие регулируется многообразием". Наблюдается и еще одна любопытная закономерность. Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... то есть число аттракторов совпадает с четными номерами первых членов ряда Фибоначчи. Разумеется, это наблюдение не служит доказательством справедливости данного факта для всего бесконечного ряда. Возможно, кто-то из читателей сумеет доказать математически справедливость этой гипотезы или же ее опровергнуть. Доктор физико-математических наук Р. БАХТИЗИН, профессор, заведующий кафедрой "Математическое моделирование" Уфимского государственного нефтяного технического университета, К. Штукатуров , студент (г. Уфа). | [an error occurred while processing the directive] |
[an error occurred while processing the directive] [an error occurred while processing the directive] |