[an error occurred while processing the directive] | ||
[an error occurred while processing the directive] |
[an error occurred while processing the directive]
Математические досугиИГРА ЛАНДАУ - НОВЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯИгра академика Л. Д. Ландау в номера, о которой рассказал на страницах журнала доктор геолого-минералогических наук Б. С. Горобец (см. "Наука и жизнь" № 1, 2000 г.), вызвала у читателей живейший интерес. Напомним, в чем состояла суть этого интеллектуального развлечения. В произвольно взятом четырехзначном числе (использовались автомобильные номера) нужно было при помощи арифметических действий приравнять обе пары цифр. Например, номер 32-58 можно "решить" как (3!):2 = -(5-8) = 3. Не все номера удается решить так просто, некоторые были признаны самим Ландау "неподдающимися". Редакция получила несколько десятков писем, в которых читатели не только решили все "неподдающиеся" номера, но и предложили несколько общих решений задачи (см. "Наука и жизнь" №№ 4, 10, 2000 г.; №№ 1, 6, 2001 г.). Публикуем еще одно общее решение, найденное автором заметки "Игра Ландау в номера", и анализ возможных комбинаций чисел в номерах, проделанный читателем из Новосибирска.Возьмем произвольный номер a,b-c,d и рассмотрим три случая. 1. Среди цифр нет нулей. Составим из них два числа ab и cd (это, разумеется, не произведения). Покажем, что sin[(ab)!]° = sin[(cd)!]° = 0. Действительно, sin(n!)° = 0, если n 6, так как sin(6!)° = sin720° = sin(2x360)° = 0. Любой факториал получается умножением 6! на последующие числа (например, 8! = 6!x7x8), давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (и тангенс тоже) равным нулю. 2. В какой-то паре цифр есть ноль. Умножаем его на соседнюю цифру, и полученный ноль приравниваем к синусу факториала в градусах, взятого от числа в другой части номера. 3. Нули в обеих частях номера при умножении на соседние цифры дают тривиальное равенство 0 = 0. Разбиение общего решения на три пункта с умножением на ноль в пунктах 2 и 3 связано с тем, что sin(n!)° 0 при n<6. Попутно отметим, что частное решение с использованием sin(7!), предложенное В. Донченко (см. "Наука и жизнь" № 6, 2001 г.), по существу, реализует ту же идею. Таким образом, игра Ландау проходит и развивается двумя путями. Во-первых, идет поиск частных решений, множество интереснейших вариантов которых было предложено читателям журнала. А во-вторых, проходит не менее захватывающая работа по отысканию общих решений (естественно, что все они автоматически исключаются из игры, ибо в противном случае она теряет интерес и занимательность). На сегодня имеется три общих решения, находящиеся в разрешенных правилами рамках элементарной математики. 1. Решение неизвестного харьковского математика, сообщенное учеником Л. Д. Ландау профессором М. Кагановым (см. "Наука и жизнь" № 1, 2000 г.). Оно содержит "архаичный" секанс и сводит любое число к числу, на единицу меньшему, позволяя в конце концов получить равенство в любой паре номеров: 2. Решение кандидата физико-математических наук С. Федина, которое использует аналогичную идею, но обходится без устаревшего секанса (см. "Наука и жизнь" № 4, 2000 г.): 3. И, наконец, приведенное выше решение автора настоящей заметки, приводящее к цели гораздо быстрее. Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук
| [an error occurred while processing the directive] |
[an error occurred while processing the directive] [an error occurred while processing the directive] |