Математические досуги

ДЕЛЕНИЕ НА 7:
НАЦЕЛО И С ОСТАТКОМ

Порой бывает нужно узнать, разделится ли данное число на какое-то другое. Чтобы не делать утомительных вычислений, в этих случаях пользуются признаками делимости - условиями, при которых число разделится без остатка. Желательно, чтобы условие легко проверялось и чтобы проверка была не сложнее непосредственного деления. Особенно сложен, вероятно, признак делимости на семь.

Проверяемое число разбивают на грани по три цифры, начиная справа. К получившимся трехзначным числам приписывают поочередно знаки плюс и минус и складывают их. Если сумма делится на 7 (а также на 11 и 13), то делиться будет и исходное число. Например:

71 008 090 440 _> 71 _ 008 + 090 _ 440 = =_287. 287 : 7 = 41.

Признак этот основан на равенстве
10³ + 1 = 7 ? 11 ? 13. Он довольно сложен и для больших чисел требует расчетов на бумаге.

Мне удалось придумать другой, более простой признак делимости на 7, который позволяет производить вычисления в уме. Способ работает для чисел с любым числом знаков; суть его состоит в следующем.

Число разбивают на группы по две цифры, начиная справа. Первое число слева, делят на 7. Остаток от деления умножают на 2 и произведение складывают со следующим по порядку числом. Сумму делят на 7, остаток умножают на 2, складывают с третьим, и так далее. Если первое число меньше 7, его сразу умножают на 2, не деля на 7. Например:

71 008 090 440 _> 4 203 689 _>

_> 7 10 08 09 04 40. _> 4 20 36 89.

7 : 7 = 1, остаток 0; 4 ? 2 = 8;

0 ? 2 = 0; 20 + 8 = 28;

10 + 0 = 10; 28 : 7 = 4, остаток 0;

10 : 7 = 1, остаток 3; 0 ? 2 = 0;

3 ? 2 = 6; 36 + 0 = 36;

08 + 6 = 14; 36 : 7 = 5, остаток 1;

14 : 7 = 2, остаток 0; 1 ? 2 = 2;

9 : 7 = 1, остаток 2; 89 + 2 = 91;

2 ? 2 = 4; 91 : 7 = 17.

04 + 4 = 8;

8 : 7 = 1, остаток 1;

1 ? 2 = 2;

40 + 2 = 42;

42 : 7 = 6.

Числа 71 008 090 440 и 4 203 689 делятся на 7 без остатка. Если же число нацело не делится, этот способ позволяет узнать величину остатка от деления. Например:

89 213 - > 8 92 13.

8 : 7 = 1, остаток 1;

1 ? 2 = 2;

92 + 2 = 94;

94 : 7 = 13, остаток 3;

2 ? 3 = 6;

13 + 6 = 19;

19 : 7 = 2, остаток 5.

Число 89 213 при делении на 7 дает в остатке 5.

Ничего похожего на этот признак делимости в литературе мне обнаружить не удалось. Получен он был подбором арифметических действий, и какая математическая закономерность лежит в его основе, мне неизвестно. Может быть, кто-нибудь из читателей сможет ее обнаружить?

В. ПЛЕСОВ.

ЛИТЕРАТУРА
Воробьев Н. Н. Признаки делимости.
М., 1974. (Но там этого способа нет).