МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСУГИ
Из портфеля отдела

ИНТЕРЕСНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЕЛ

Однажды мой сын Николай, будучи еще учеником десятого класса, обнаружил интересную закономерность чисел. Почти все целые положительные числа, для краткости назовем их базовыми, могут быть представлены в виде суммы чисел отрезка натурального ряда, например:

6 = 1 + 2 + 3

7 = 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

Однако ни для одного из базовых чисел, равных 2ⁿ, где n = 0, 1, 2..., не существует отрезка натурального ряда, сумма чисел которого равнялась бы числу 2ⁿ. Читатели могут сами попробовать подобрать ряды чисел, сумма которых равнялась бы 2ⁿ, но хочу предупредить, что подобный подбор даже для базовых чисел в пределах сотни является довольно утомительным занятием и лучше эту работу поручить компьютеру, что нами и было сделано. С помощью несложной программы компьютер находил отрезки натурального ряда чисел, сумма которых равнялась данному базовому числу, причем для любого базового числа находились все возможные отрезки, удовлетворяющие условию. Как мы и предполагали, ни одна из степеней двойки в диапазоне базовых чисел до 1000 (именно такой диапазон был просчитан) не может быть представлена в виде суммы чисел отрезка натурального ряда, все же остальные числа допускали подобное представление.

Анализируя полученные результаты, обнаружили еще одну интересную закономерность. Оказалось, что все без исключения простые числа в диапазоне до 1000 могут быть представлены только в виде суммы двух рядом стоящих чисел, например:

17 = 8 + 9

29 = 14 + 15

61 = 30 + 31,

и никакое другое представление для них невозможно. Некоторые базовые числа, не относящиеся к простым, также могут быть представлены в виде суммы чисел только одного отрезка натурального ряда, однако, в отличие от простых чисел, этот отрезок всегда имеет больше двух чисел:

886 = 220 + 221 + 222 + 223

958 = 238 + 239 + 240 + 241.

Наряду с вышеописанными имеются базовые числа, которые могут быть представлены в виде сумм чисел нескольких отрезков натурального ряда (допускают множественное представление), например:

945 = 2 + 3 + 4 + ... + 42 + 43

945 = 10 + ... + 44

945 = 17 + ... + 46

945 = 22 + ... + 48

945 = 35 + ... + 55

945 = 44 + ... + 61

945 = 56 + ... + 70

945 = 61 + ... + 74

945 = 90 + ... + 99

945 = 101 + ... + 109

945 = 132 + ... + 138

945 = 155 + ... + 160

945 = 187 + ... + 191

945 = 314 + ... + 316

945 = 472 + 473.

Интересно отметить, что стоящее рядом с числом 945 число 944 может быть представлено только одним способом:

944 = 14 + ... + 45.

Вообще говоря, никакой системы в количестве слагаемых отрезка натурального ряда, сумма которых равнялась бы базовому числу, обнаружить не удалось. Также не выявлено закономерности в количестве возможных представлений одного базового числа суммой чисел отрезков натурального ряда.

Представляет большой интерес поиск доказательства невозможности представления степеней двойки в виде суммы чисел отрезка натурального ряда, а также того, что простое число может быть представлено в виде суммы чисел отрезка натурального ряда только в случае, если отрезок включает два числа. Уверен, что доказательство этих интересных теорем (пока это только гипотезы) могло бы стать вкладом в теорию чисел.

П. МАНТАШЬЯН
(г. Черкесск).