[an error occurred while processing the directive]  
[an error occurred while processing the directive]   [an error occurred while processing the directive]

Математические досуги

ВСЕ “НЕПОДДАЮЩИЕСЯ” НОМЕРА РЕШЕНЫ!

В заметке “Игра Ландау в номера” (см. “Наука и жизнь” № 1, 2000 г.) было рассказано об игре, придуманной известным российским физиком. Суть ее заключается в том, чтобы, взяв две пары произвольных цифр (для этого использовались четырехзначные номера автомобилей), приравнять их с помощью различных арифметических действий. Там же приводился список из нескольких номеров, решения вроде бы не имеющих:

75 — 65, 59 — 58, 47 — 73, 47 — 97, 27 — 37.

Однако уже через несколько месяцев первый из “неподдающихся” номеров был решен: 7 + 5 = Ц6!/5 (см. “Наука и жизнь”
№ 10, 2000 г.). Это заставило читателей поверить в свои силы, и вскоре были решены все “неподдаю щиеся” номера!

А. В. Кузин из г. Мурманска предложил следующие решения:

59 — 58: 5Ц9 = (5!)/8 (такое же решение дали Р. О. Кардашев из г. Красноярска, студент IV курса МИФИ Андрей Тремба и Станислав Миков, приславший письмо по электронной почте);

27 — 37: 2lgЦ7 = - lg(3!)! + lg(7!);

47 — 37: Ц4lgЦ7 = -lg((Ц9)!)! + lg(7!);

47 — 73: Ц4lgЦ7 = lg7! - lg(3!)!

Он же заметил, что решения последних двух пар сводятся к решению для пары
27 — 37, так как Ц4 = 2, а Ц9 = 3.

Кандидат технических наук Э. М. Райбман дал свое решение первой пары:

59 — 58: 5!/Ц9 = 5Ц8.

Так же решил ее и С. Миков; кроме того он дал еще одно решение пары 75 — 65: 7Ц5! = 5!/8.

А. Тремба предложил кроме уже указанного выше остроумные решения для остальных трех пар:

47 — 73: 4Ц7 = ЦЦ7!/(3!)!;

47 — 97: -4Ц7 = ЦЦЦ9!/7!;

27 — 37: -2Ц7 = Ц3!/7!

Были и другие, более сложные решения, требующие перебора вариантов на компьютере (С. Миков). Однако использованный алгоритм оказался неудачным: он показал, что пары 47 — 73, 47 — 97 и 27 — 37 решений не имеют...

Читатели журнала оказались на высоте. Мы ждем новых решений “неподдающихся” номеров. А кто-то, может быть, сумеет выяснить, какие четверки цифр не имеют решения в принципе, и доказать это.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

“ЧТО? ГДЕ? КОГДА?”

По материалам “Науки и жизни”.
Ответы на конкурс № 1, 2001 г.

1. Цирк. Антиподисты работают лежа на спинке, жонглируя тумбами, шарами и др. (№ 2, 1974 г.). 2. Лягушки (№ 2, 1987 г., рассказ М. Твена. “Знаменитая скачущая лягушка из Калавераса”). 3. Улыбка (№ 2, 1987 г.). 4. Чтобы узнать направление ветра (№ 7, 1990 г.). 5. Из-за шума даже американская молодежь едва различают около 40% слов (№ 7, 1990 г.). 6. Большое светлое пятно на боку коровы точно повторяет контуры карты США (“Кунсткамера”, выпуск 5, 1996—1997 гг.). 7. Уолт Дисней (“Кунсткамера”, выпуск 8, 1998—1999 гг.). 8. Расизм. Вуде был негром (“Кунсткамера”, выпуск 5, 1996—1997 гг.). 9. Повреждены доспехи в тех местах, куда была ранена Жанна (“Кунсткамера”, выпуск 5, 1996—1997 гг.). 10. Все они — члены королевских домов Европы. (“Кунсткамера”, выпуск 5, 1996—1997 гг.). 11. Слон в зоопарке (№ 1, 1974 г.). 12. Гепард (“Кунсткамера”, выпуск 5 1996—1997 гг.).

Ответы на кроссворд с фрагментами
(№ 12, 2000 г.)

По горизонтали.

7. Коненков (российский скульптор, автор представленной скульптуры "Камнебоец"). 8. Черкасов (советский артист, на снимке в роли Ивана Грозного в пьесе "Великий государь" В. Соловьева). 9. Днесь (на древнерусском языке - сегодня). 11. Крепь (сооружение, возводимое в подземных выработках и служащее для предотвращения обрушения и вспучивания окружающих горных пород). 12. Рассеяние (процесс искривления траекторий микрочастиц, происходящий, в частности, в силовом поле). 15. Хирург (рыба отряда окунеобразных). 18. Комикс (серия рисунков с краткими текстами, образующих связное повествование). 19. Соловей (птица семейства дроздовых). 20. Копчик (концевая часть позвоночника человека). 21. "Цыганы" (процитированная поэма А. Пушкина). 24. Гумилев (российский историк, автор концепции пассионарности как движущей силы развития этносов). 26. Гранат (растение одноименного семейства). 27. Цицеро (размер типографского шрифта, равный 12 пунктам). 31. Гидроксил (одновалентная группа, состоящая из атома кислорода и атома водорода). 33. "Исход" (процитированная ветхозаветная книга). 34. Фарси (персидский язык; приведено одно из рубаи Омара Хайяма). 35. Альциона (самая яркая звезда в звездном скоплении Плеяды). 36. Амундсен (норвежский полярный исследователь, первым достигший Южного полюса).

По вертикали.

1. "Сомнение" (романс М. Глинки на слова Н. Кукольника, отрывок из которого приведен). 2. Нейсе (одна из пограничных рек между Германией и Польшей). 3. Полкан (употребитель ное в русском фольклоре название кентавра). 4. Менгир (мегалитическое сооружение, вертикально врытый в землю длинный камень). 5. Каури (брюхоногий моллюск подкласса переднежаберных). 6. Комполка (воинское звание в Красной Армии в 20-е годы; приведен соответствующий нарукавный знак). 10. Период (в геологическом летосчислении один из интервалов, на которые разделена эра). 13. Хризопраз (одна из перечисленных разновидностей халцедона). 14. Воронихин (русский архитектор, по проекту которого выстроен Казанский собор в Санкт-Петербурге, представленный снимком). 16. Солидус (линия на диаграмме состояния сплава, показывающая зависимость температуры кристаллизации от процентного соотношения компонент). 17. Чебышев (русский математик, введший систему многочленов, представленных формулой и именуемых многочленами Чебышева). 22. Шишков (советский писатель, автор процитированного отрывка из романа "Угрюм-река"). 23. Брюссель (столица Бельгии, герб которой представлен). 25. "Крайслер" (американская автомобильная компания, логотип которой представлен). 28. Сирена (в греческой мифологии полуптица-полуженщина, завлекавшая моряков своим пением и губившая их; приведен фрагмент росписи, изображающей Одиссея и сирен). 29. Письмо (перевод с английского). 30. "Косцы" (картина русского художника Г. Мясоедова, представлен ее фрагмент). 32. Ганди (индийский политик, дочь Дж. Неру; его письма к ней из тюрьмы впоследствии составили книгу "Взгляд на всемирную историю").

ИЗ РЕЗЕРВА ЭКЗАМЕНАТОРА

1. Ожог возникает из-за того, что в живых тканях при нагреве происходит распад белка. Теплоемкость воды 4,2 Дж/г.град, поэтому один грамм кипятка передаст телу 420 джоулей тепловой энергии. Пар, попавший на холодную руку, конденсируется, отдавая дополнительно энергию, затраченную на испарение воды, так называемую скрытую теплоту парообразования. Она очень велика - 2461,2 Дж/г. Поэтому ткани прогреваются гораздо сильнее и глубже, а ожог получается более тяжелым.

2. При включении мощного нагревателя ток в сети возрастает. Подводящие провода имеют сопротивление, на них напряжение слегка "садится": DU = DIR (закон Ома для участка цепи). Сопротивление холодного металла гораздо меньше, чем горячего. Так, вольфрам, из которого делают нагревательные элементы, при 20оС имеет удельное сопротивление 5,4.10-6 Ом/см, а при 600оС - в три раза больше (16,85.10-6 Ом/см). Из-за этого в первое мгновение ток в сети возрастает особенно сильно и падение напряжения на подводящих проводах становится значительным.

3. Когда лента с записью долго хранится в свернутом виде, ее намагниченные участки своими полями вызывают в соседних витках намагниченность. Она очень слаба, но при большом усилении такие "паразитные" сигналы можно услышать. Чтобы исключить их появление, магнитофонные записи рекомендуется время от времени перематывать.

Подобное же явление нередко наблюдалось и на виниловых пластинках, но там оно вызывалось механическим дефектом - на тонкой стенке между звуковыми дорожками оставался отпечаток записи.

4. Чем меньше входное отверстие оптической системы, тем больше глубина ее резкости. Например, диаметр объектива современных "мыльниц" настолько мал, что аппарат дает резкое изображение начиная с расстояния в метр-полтора. При слабой близорукости человек днем видит резко - его зрачки сильно сужены. В сумерках они расширяются, и близорукость становится заметной.

5. Капля воды на горячей сковородке "плавает" на слое пара, который служит своеобразной теплоизолирующей прослойкой. К тому же капля под действием сил поверхностного натяжения сворачивается в шарик, зона ее контакта с раскаленным металлом сильно уменьшается.

6. И вода и парафин содержат большое количество водорода. Протон - ядро водорода - по массе лишь незначительно отличается от нейтрона. Поэтому при столкновении нейтрона с неподвижным ядром водорода происходит обмен их импульсами: нейтрон останавливается, а протон начинает двигаться. Но заряженный протон взаимодей ствует с внутренними электрическими полями вещества, которые быстро его тормозят.

7. Печная труба не только выбрасывает в атмосферу продукты сгорания, но и создает тягу, улучшающую условия горения. Нагретый воздух расширяется в соответствии с законом Гей-Люссака: Vt = V0(1 + at). Термический коэффициент расширения a практически одинаков для всех газов и равен 1/273 град-1. Приняв, что температура топочных газов в среднем составляет около 300оС, получим, что их объем в два раза больше, а давление в два раза меньше, чем у окружающего воздуха. Сквозь топку пойдет мощный поток воздуха, обеспечивающий горение.

Тонкая стальная труба охлаждается значительно сильнее, чем толстая кирпичная, поэтому ее тяга, особенно зимой, будет слабее.

8. Давление внутри растительной клетки достигает нескольких атмосфер - не меньше, чем в перфораторе, которым дорожные рабочие вскрывают асфальт. И пока цела клеточная оболочка, растущие клетки будут развивать огромное усилие. В истории морских катастроф известен курьезный случай. Судно, перевозившее груз сухого гороха, получило небольшую пробоину. Был затоплен только один отсек трюма, что опасности не представляло. Однако разбухший горох разорвал корпус корабля пополам.


Гравюра из трактата Уильяма Гильберта "О магните..." (1600 год). Выковывая стальную заготовку, лежащую в направлении север - юг, кузнец намагничивает ее ударами молота.

9. В давние времена стальные полосы намагничивали полем Земли. Сталь состоит из отдельных намагниченных зерен (доменов). Они расположены хаотично, поэтому суммарное их поле равно нулю. При ударах по материалу домены постепенно выстраива ются цепочками вдоль земного поля - сталь становится магнитной.

10. Абитуриент дал неверный ответ. Это легко показать, предположив, что на полпути путешественник раздумал идти дальше. Тогда его скорость равна нулю, и он никуда не придет. А по формуле получается, что средняя скорость все-таки равна 22,5 км/ч.

Средняя скорость определяется через время, за которое был пройден путь: Vср = S/t, где t - сумма времен движения по двум участкам пути. Поэтому правильным будет ответ

V = 2(45ґ5)/(45 + 5) = 9 км/ч.

КРУГОМ ШЕСТНАДЦАТЬ
(№ 12, 2000 г.)

№ 8. Г. Эттл. Ретроигра: 1... d7-d6+ 2.Kpd6-e5 e5-e4 3.Лf5-f5 e6-e5 4.Лd5-f5 f5-f4 5.Лd3-d5 f6-f7 6.Лc3-d3 f7-f6 7.Kf6-g4 g4-g3 8.Лc1-c3 g5-g4 9.Cg4-h5 g6-g5 10.Лh5-h8 g7-g6 11.Kg6-h4 h4-h3 12.Лd5-h5 h5-h4 13.Лd3-d5 h6-h5 14.Лc3-d3 h7-h6 15.Лc2-c3 Kpb5-a6 16.c3-c4+. Мы вернулись к критической позиции:

№ 8А

Перед ходом с3-с4+

Предыдущий ретроход уже не однозначен, поскольку могло быть или 16... Kpa6-b5, или 16... Фa6-b7 и т. д.

№ 10. Ю. Квик. Заматовать черного короля возможно лишь белым ферзем, которому необходимо обеспечить максимальный оперативный простор - 1.Лh7! Теперь у черного короля есть две возможности, а именно: или 1...Kpc1, но тогда 2.Ch8! Kpb1 3.Фg7! и ферзь наконец добирается до черного монарха - 3...Kp2 4.Фb2ґ, 3...Kpc1 4.Фa1ґ; или 1...Kpe1, но тогда 2.Ca8! Kpf1 3.Фb7! Kpe1 4.Фh1ґ. Идея освобождения линий в форме гротеска с одной черной фигурой.

№ 11. Из ящика с комплектом шахматных фигур последовательно одну за другой вынимаем наугад 16 фигур и наугад ставим их на доску. Какова вероятность получить при этом правильную начальную расстановку белых фигур?

Для подсчета вероятности благоприятного исхода этого процесса разобьем его на две стадии: сначала извлекаем фигуры, а потом выставляем их на доску. Наугад выбираем первую фигуру из 32-х, имеющихся в ящике. Вероятность того, что она окажется белой, будет равна 16/32. Далее из ящика, в котором осталась 31 фигура, вынимаем вторую фигуру. Вероятность, что она будет белой, равна 15/31 и т. д. И вероятность выбора подряд шестнадцати белых фигур
равна 16/32.15/31.14/30 ...1/17= = (16!)2/32!

Начинаем расставлять белые фигуры на доске. Первая фигура может занять любое из 64-х полей, вторая - любое из 63-х оставшихся и т. д. И всего возможно получить 64.63.62 ...49=64!/48! расстановок. Но некоторые из этих расстановок совпадают из-за одинаковости восьми пешек, двух ладей, двух слонов и двух коней. Таких совпадений у каждой расстановки - для пешек 8!, а для ладей, слонов и коней - по 2! И всего - 8!.2!.2! .2!=8!.8. Таким образом, различных позиций будет 64!/48!.8!.8, и только одна из них - искомая. И вероятность ее расстановки равна 48!.8!.8/64! А вероятность получения позиции
№ 11 ничтожна. Она равна произведению вероятностей благоприятных исходов:
(16!)2/32!.48! .8!.8/64! = =5,25.10-32.

[an error occurred while processing the directive]  
[an error occurred while processing the directive] [an error occurred while processing the directive]